基于全变差的傅里叶测量样条重构：基于网格方法的唯一性与收敛性

我们研究从低频信息恢复分段多项式周期函数的问题。这意味着我们只能获取真实值截至最大截止频率 $K_c$ 的可能受损的傅里叶样本。重构任务被表述为带有全变差 (TV) 正则化（在测度意义下）的优化问题，涉及 $M$ 阶导数正则化算子 $\mathrm{L} = \mathrm{D}^M$。阶数 $M \geq 1$ 决定了重构分段多项式样条的次数，而以促进稀疏性著称的 TV 正则化范数则保证了较少的分段数。我们证明了该优化问题的解始终是唯一的，据我们所知，这在基于 TV 的问题中尚属首次。此外，我们证明该解是与正则化算子 $\mathrm{L}$ 相匹配的周期样条，其节点数上界为 $2 K_c$。随后，我们在均匀 $\mathrm{L}$-样条空间中考虑了该优化问题的基于网格的离散化。在理论方面，我们证明了随着网格尺寸趋于零，离散化问题的任何解序列一致收敛到无网格问题的唯一解。最后，在算法方面，我们提出了一种基于 B-spline 的算法来求解基于网格的问题，并通过实验验证了其数值可行性。在这两方面，我们都利用了原始问题解的唯一性。