一维数据的最稀疏分段线性回归
最优化与控制
2021-12-22 v3 信号处理
摘要
我们研究对数据点作一维回归的问题，其采用关于二阶导数的全变分（TV，依测度意义）正则化，已知其促进具少量结点的分段线性解。尽管存在确定此类自适应样条的高效算法，TV 正则化的困难在于解通常非唯一，这一方面在实践中常被忽略。本文中，我们给出系统分析，完整刻画解集合，并清晰区分解唯一与不唯一（后者远更常见）的情形。对后者，我们辨识最稀疏解，即具最少结点数的解，并推导仅基于数据点计算最少结点数的公式。为此，我们首先考虑精确插值问题，其引出较易的理论分析。接着，我们将精确插值要求放宽为回归设定，并考虑带严格凸数据保真代价函数的罚优化问题。我们表明底层罚问题可重构为约束问题，从而先前所有结果仍适用。基于理论分析，我们提出一种简单快速、对唯一性无关的两步算法，以达该罚问题的最稀疏解。
引用
@article{arxiv.2003.10112,
title = {Sparsest Piecewise-Linear Regression of One-Dimensional Data},
author = {Thomas Debarre and Quentin Denoyelle and Michael Unser and Julien Fageot},
journal= {arXiv preprint arXiv:2003.10112},
year = {2021}
}