DeepTV：用于总变异最小化的神经网络方法

神经网络方法在实际中被证明能够很好地求解偏微分方程。 在此背景下，类似于物理信息神经网络和 Deep Ritz 方法等方法变得流行。 本文提出了一种类似的方法，用于求解使用神经网络的无限维总变异最小化问题。 我们说明， resulting neural network problem 在一般情况下不存在解。 为了规避这一理论问题，我们考虑一个辅助神经网络问题，实际上有一个解，并证明它在 $\Gamma$ -收敛意义下收敛到原始问题。 为了计算数值解，我们进一步提出了该辅助神经网络问题的离散版本，并再次证明其 $\Gamma$ -收敛于原始无限维问题。特别是，$\Gamma$ -收敛证明建议了总变异的某种离散化。此外，我们将离散神经网络问题与无限维总变异最小化问题的有限差分离散化相连接。 presented numerical experiments supporting our theoretical findings。