虚二次域的一类四次扩张族中相对幂整基的计算

设$M$为虚二次域，其整数环为$\mathbb{Z}_{M}$，令$\xi$为多项式$$f\left( x\right) =x^{4}-2cx^{3}+2x^{2}+2cx+1$$的根，其中$c\in\mathbb{Z}_{M}$，$c\notin\left\{ 0,\pm2\right\}$。我们考虑无限的八次域族$K_{c}=M\left( \xi\right)$，其整数环为$\mathbb{Z}_{K_{c}}$。我们的目标是确定$\mathcal{O=}\mathbb{Z}_{M}\left[ \xi\right]$ over $\mathbb{Z}_{M}$的所有相对幂整基生成元。我们证明该问题可归约为求解相对佩尔方程组$$cV^{2}-\left( c+2\right) U^{2}=-2\mu,\ \ cZ^{2}-\left( c-2\right) U^{2}=2\mu,$$其中$\mu$是$\mathbb{Z}_{M}$中的单位。我们完全求解了该方程组，并发现$\mathcal{O}$ over $\mathbb{Z}_{M}$的所有不等价幂整基生成元由$\alpha=\xi,$ $2\xi-2c\xi ^{2}+\xi^{3}$给出，对于$\left\vert c\right\vert \geq159108$和$|c|\leq200$。