二项 Thue 方程与纯四次域中的幂整基

判断一个数域是否承认幂整基并进一步计算所有幂整基的生成元是代数数论中的经典问题。在数域的无限参数族中考虑此问题尤为微妙。在本文中，我们研究纯四次域 $K=Q(\sqrt[4]{m})$ 的无限参数族中的幂整基。我们常指出各类 Thue 方程与计算幂整基之间的密切联系。在本文中，我们通过将相应的指数型方程化为四次二项 Thue 方程来确定纯四次域中的幂整基。我们应用近期关于形如 $a^4-mb^4=\pm 1\; ({\rm in}\; a,b\in Z)$ 的二项 Thue 方程解的结果，并使用高性能计算机进行大量计算，以确定 $m<10^7$ 时二项 Thue 方程的“小”解（满足 $\max(|a|,|b|)<10^{500}$）。利用这些关于二项 Thue 方程的结果，我们刻画了纯四次域无限子族中的幂整基。对于 $1< m< 10^7$，我们给出了整基中系数 $<10^{1000}$ 的所有幂整基生成元。