与 Razavy 势相关的正交多项式族

我们表明，与拟恰可解 Razavy 势 $V(x)=(\z \cosh 2x-M)^2$（$\z>0$，$M\in\mathbf N$）相关联的有两个不同族（弱）正交多项式。其中一族包含了 Khare 与 Mandal 最近发现的四组正交多项式，而另一族是新的。这些结果被推广到相关的周期势 $U(x)=-(\z \cos 2x -M)^2$，对其我们也构造了两族不同的弱正交多项式。我们证明，这两族中的任一族都给出该周期势的基态（当 $M$ 为奇数时）以及能量谱中直至并包括第 $(M-1)^{\rm th}$ 能隙、且与 $M-1$ 有相同奇偶性的最低能隙。此外，我们表明以此方式获得的代数本征函数是众所周知的 Whittaker–Hill（或 Hill 三项）周期微分方程的有限解。因此，上述结果提供了 Whittaker–Hill 方程（不同于例如 Mathieu 方程）容许有限解这一事实的李代数依据。