基于加权块拉普拉斯矩阵的原子可拆分拥塞博弈均衡的复杂性与参数化计算

我们证明了在计算具有玩家特定仿射代价函数 $l_{e,i}(x) = a_{e,i} x + b_{e,i}$ 的原子可拆分拥塞博弈中的均衡是 $\mathsf{PPAD}$-完全的。为证明该问题包含于 $\mathsf{PPAD}$，我们开发了一种同伦方法，追踪玩家流量需求变化时的均衡。该方法的一项关键技术是通过一种新颖的块拉普拉斯矩阵在局部描述均衡的演化。利用该矩阵的性质可得到一种路径跟随公式，用于计算均衡，其中状态对应于对某些需求可行的支撑。对块拉普拉斯系统的进一步细致考察还允许对状态定向，从而产生唯一的前驱与后继状态，由此将该问题归入 $\mathsf{PPAD}$。对于 $\mathsf{PPAD}$-困难性，我们从计算双矩阵赢输博弈的近似均衡归约而来。作为我们归约的副产品，我们进一步证明了计算具有类别依赖仿射代价函数的多类 Wardrop 均衡也是 $\mathsf{PPAD}$-完全的。作为我们 $\mathsf{PPAD}$-完全性证明的另一副产品，我们获得了一种算法，可计算由玩家流量需求参数化的均衡连续统。对于玩家特定代价，该算法在多项式空间内运行。对于具有玩家无关代价的博弈，我们获得了一种算法，可计算所有作为流量需求函数的均衡，其运行时间在输出规模上为多项式。