极非catenary Noetherian UFD 的完备化

设 $T$ 为完备局部环。我们给出 $T$ 为局部 (Noetherian) 唯一分解环 $A$ 的完备化的必要且充分条件，使得存在高度为 1 的素理想族 $\{J_k\}_{k = 1}^{\infty}$ 满足以下条件：(1) $J_k = J_{\ell}$ 当且仅当 $k = \ell$；(2)存在正整数 $n \neq m$，使得对于每个 $k \in \mathbb{N}$，存在两个饱和的素理想链形式 $J_k \subsetneq J^{(1)}_{k,2} \subsetneq \cdots \subsetneq J^{(1)}_{k,n - 1} \subsetneq M$ 和 $J_k \subsetneq J^{(2)}_{k,2} \subsetneq \cdots \subsetneq J^{(2)}_{k,m - 1} \subsetneq M$，其中 $M$ 为 $A$ 的最大理想；(3)条件 (2) 中的素理想满足 $J^{(i)}_{k,a} = J^{(j)}_{\ell,b}$ 当且仅当 $i = j$、$k = \ell$ 和 $a = b$。我们还发现 $T$ 为局部 (Noetherian) 唯一分解环 $B$ 的完备化的充分条件，其中 $B/J$ 对所有高度为 1 的素理想 $J$ 均不catenary。