预完备化素谱的基数

给定一个完备局部（Noether）环 $T$，我们找到了 $T$ 上存在局部整环 $A$ 满足 $|A| < |T|$ 且 $\widehat{A} = T$（其中 $\widehat{A}$ 表示 $A$ 关于其极大理想的完备化）的充要条件。随后，我们找到了 $T$ 上存在整环 $A$ 满足 $\widehat{A} = T$ 且 $|\mbox{Spec}(A)| < |\mbox{Spec}(T)|$ 的充要条件。最后，我们利用“部分完备化”构造出满足 $\widehat{A} = T$ 的局部环 $A$，使得 $\mbox{Spec}(A)$ 在不同簇中具有变化的基数。