幂级数环内的非 Noether 整域示例

设 $R^*$ 为 Noether 整域 $R$ 的理想adic 完备化，$L$ 为 $R^*$ 的全商域的子域且包含 $R$。记 $A$ 为 $L$ 与 $R^*$ 的交。整域 $A$ 有时会从 $R^*$ 继承良好的性质，如 Noether 性。对于某些域 $L$，可以使用与 $A$ 关联的 $R$ 上多项式环嵌套并集的局部化 $B$ 来逼近 $A$；若 $B$ 是 Noether 的，则 $B = A$。若 $B$ 不是 Noether 的，我们有时可以识别 $B$ 中那些非有限生成的素理想。通过这种方式，我们对每个正整数 $s$ 获得了一个 3 维局部唯一分解整域 $B$，其极大理想由 2 个元素生成，$B$ 恰好有 $s$ 个高度为 2 的素理想，每个高度为 2 的素理想都不是有限生成的，而 $B$ 的所有其他素理想都是有限生成的。我们考察了此示例中从 $\text{Spec } A$ 到 $\text{Spec } B$ 的映射。我们还给出了此示例到 4 维的推广。我们描述了一个 4 维局部非 Noether 唯一分解整域 $B$，其极大理想由 3 个元素生成，存在恰好一个高度为 3 的素理想 $Q$，且该素理想 $Q$ 不是有限生成的。我们考虑了 $Q$ 是否是 $B$ 中唯一非有限生成的素理想这一问题，但尚未回答此问题。