完备化、分支覆盖、Artin 群与奇点理论
几何拓扑
2019-12-19 v1 代数几何
群论
度量几何
摘要
我们研究度量空间的曲率以及黎曼流形的分支覆盖，并应用于拓扑学和代数几何。这里曲率界用 CAT(k) 不等式表示。我们证明了一个一般的 CAT(k) 扩张定理，给出了局部 CAT(k) 度量空间的边界上和边界附近的充分条件，使得其完备化是 CAT(k) 的。我们利用该定理证明，一个完备黎曼流形的分支覆盖是局部 CAT(k) 的，当且仅当所有切空间是 CAT(0) 的且底空间的截面曲率以 k 为上界。我们还证明了该分支覆盖是一个测地空间。利用我们的曲率界和一个局部非球面性假设，我们给出了分支覆盖为全局 CAT(k) 且分支轨迹的补集为可缩空间的充分条件。我们猜想，复欧几里得 n 维空间在有限 Coxeter 群的镜面反射下的万有分支覆盖是 CAT(0) 的。在此猜想成立的条件下，我们运用我们的工具证明了关于 Artin 群的 K(pi,1) 空间的 Arnol'd-Pham-Thom 猜想。同样在此条件下，我们证明了充足格极化 K3 曲面的模空间以及 Arnol'd 层级中所有单峰超曲面奇点的判别式补集的非球面性。
引用
@article{arxiv.1106.3459,
title = {Completions, branched covers, Artin groups and singularity theory},
author = {Daniel Allcock},
journal= {arXiv preprint arXiv:1106.3459},
year = {2019}
}