置换逆族布尔函数的完全沃尔什谱

设$q=2^e$，其中$e$为偶数，令$\mathbb{F}_{q^2}$为阶数为$q^2$的有限域。取$d=(q^2+q+1)/3$，考虑置换多项式$$\sigma(X)=X+X^d+X^{dq}\in\mathbb{F}_{q^2}[X].$$ 对于$\alpha\in\mathbb{F}_q^*$，定义布尔函数$$f_{\alpha}(x)=\text{Tr}_{q^2}\bigl(\alpha(\sigma^{-1}(x))^3\bigr),\qquad x\in\mathbb{F}_{q^2},$$其中$\text{Tr}_{q^2}$表示从$\mathbb{F}_{q^2}$到$\mathbb{F}_{2}$的绝对迹。在本文中，我们确定了$f_{\alpha}$的所有沃尔什值及其重数。特别地，$f_{\alpha}$为弯曲函数(bent)当且仅当$\alpha$为$\mathbb{F}_q$中的非立方元，证明了Li、Li、Helleseth和Qu的一个猜想。谱中$\beta\in\mathbb{F}_q$部分由初等有限域论证处理，而$\beta\in\mathbb{F}_{q^2}\setminus\mathbb{F}_q$部分归约为迹零空间上的阿达马问题。然后我们将所得字与非立方情形的归一化奇数维缩短Kerdock壳以及立方情形的归一化第一缩短Delsarte-Goethals壳进行对应。为了使外部壳输入可独立验证，我们将有限域字典与所引用的壳定理分离，并直接验证退化情形$e=2$。作为应用，我们证明Xie、Li、Wang和Zeng的近期分圆族是在不同坐标下的同一构造。