基于 Carleman 线性化的非线性 PDE 约束优化变分量子框架
微分几何
2024-10-18 v1
摘要
我们提出了一种新颖的变分量子框架，用于求解非线性偏微分方程（PDE）约束的优化问题。该方法通过利用 Carleman 线性化（CL）将最近引入的双层变分量子 PDE 约束优化（BVQPCO）框架从线性扩展到非线性。CL 框架允许将多项式常微分方程（ODE）（即多项式向量场的 ODE）转化为无限但线性的 ODE 系统。例如，当 PDE 在空间维度上进行半离散化时，就会自然产生多项式 ODE。通过对 CL 系统进行阶数截断，可获得有限的线性 ODE 系统，可应用线性 BVQPCO 框架求解。具体而言，对线性 ODE 系统进行时间离散化并嵌入为线性方程组。采用变分量子线性求解器（VQLS）求解给定优化参数下的线性方程组，评估设计目标函数/成本函数，并使用经典黑盒优化器根据评估结果选择下一组参数值。我们给出详细的计算误差和复杂度分析，证明在适当假设下，本文提出的框架可相对于经典技术提供潜在优势。我们使用 PennyLane 库实现该框架，并用于求解逆 Burgers 问题。我们还探讨了一种替代张量积分解，利用 PDE 离散化产生的稀疏/结构化线性系统，以促进 VQLS 成本函数的计算。
引用
@article{arxiv.2410.13687,
title = {Complete minimal surfaces with Cantor ends in minimally convex domains},
author = {Antonio Alarcon},
journal= {arXiv preprint arXiv:2410.13687},
year = {2024}
}
备注
To appear in an issue of Pure Appl. Funct. Anal. dedicated to Nikolai Nadirashvili