Bochner 函数空间中 $\ell^1$ 的互补拷贝与 Pelczynski 性质 (V*)

设 $X$ 为 Banach 空间，$(f_n)_n$ 为 $L^1(X)$ 中的有界序列。我们证明著名的 Talagrand 二分法的互补版本：即若 $(e_n)_n$ 表示 $c_0$ 的单位向量基，则存在序列 $g_n \in \text{conv}(f_n,f_{n+1},\dots)$ 使得对几乎每个 $\omega$，序列 $(g_n(\omega) \otimes e_n)$ 在 $X \widehat{\otimes}_\pi c_0$ 中要么弱 Cauchy，要么等价于 $\ell^1$ 的单位向量基。由此我们得到一个有界序列在 $L^1(X)$ 中包含等价于 $\ell^1$ 的互补拷贝的子序列的判别准则。作为一个应用，我们证明对 Banach 空间 $X$，空间 $L^1(X)$ 具有 Pełczyński 性质 $(V^*)$ 当且仅当 $X$ 具有。