分层李群上 Riesz 变换交换子的紧性

设 $\mathcal G$ 为分层李群，$\{\X_j\}_{1 \leq j \leq n}$ 为 $\mathcal G$ 上一次左不变向量场的一组基。设 $\Delta = \sum_{j = 1}^n \X_j^2$ 为 $\mathcal G$ 上的次拉普拉斯。$\mathcal G$ 上的第 $j$ 个 Riesz 变换定义为 $R_j:= \X_j (-\Delta)^{-\frac{1}{2}}$，$1 \leq j \leq n$。本文中，我们给出与 $\mathcal G$ 上 $R_j$ 核的点态下界相关的“扭曲截断扇区”的具体构造。随后我们得到了 $R_j$ 与函数 $b\in$ VMO$(\mathcal G)$（即 $\mathcal G$ 上消失均值振荡函数空间）的交换子紧性的刻画。