指数增长Lie群上的Hardy空间与Riesz变换

设 $G$ 为Lie群 ${\Bbb{R}}^2\rtimes {\Bbb{R}}^+$，其拥有黎曼对称空间结构。取该Lie代数的左不变向量场基 $X_0、X_1、X_2$，并考虑拉普拉斯算子 $\Delta=-\sum_{i=0}^2X_i^2$ 和一阶Riesz变换 $\mathcal R_i=X_i\Delta^{-1/2}$，其中 $i=0,1,2$。我们首先表明，作者在前一篇论文中引入的 $G$ 上的原子Hardy空间 $H^1$ 不允许用Riesz变换 $\mathcal R_i$ 进行表征。也证明了其中两个Riesz变换从 $H^1$ 到 $H^1$ 有界。