Grothendieck-Verdier 范畴中的交换代数、刚性与顶点算子代数

设 $A$ 为辫子幺半范畴 $\mathcal{C}$ 中的交换代数；例如，$A$ 可以是 $V$-模范畴 $\mathcal{C}$ 中顶点算子代数(VOA) $V$ 的扩张。我们研究 $\mathcal{C}$ 中 $A$-模范畴 $\mathcal{C}_A$ 及其局部模子范畴 $\mathcal{C}_A^{\text{loc}}$ 何时从 $\mathcal{C}$ 继承刚性，并找出 $\mathcal{C}$ 和 $\mathcal{C}_A$ 从 $\mathcal{C}_A^{\text{loc}}$ 继承刚性的条件。首先，假设 $\mathcal{C}$ 是辫子有限张量范畴，并在基于 Etingof-Ostrik 关于 $A$ 是 $\mathcal{C}$ 中正合代数的准则的条件下，证明 $\mathcal{C}_A$ 和 $\mathcal{C}_A^{\text{loc}}$ 的刚性。作为推论，我们证明如果 $A$ 是具有强有理顶点算子子代数 $V$ 的单 $\mathbb{Z}_{\geq 0}$-分次 VOA，则 $A$ 是强有理的，而无需要求 $A$ 作为 $V$-模的范畴维数非零。其次，假设 $\mathcal{C}$ 是 Grothendieck-Verdier 范畴，即 $\mathcal{C}$ 容许比刚性更弱的对偶结构。我们首先证明 $\mathcal{C}_A$ 也是 Grothendieck-Verdier 范畴。利用这一点，我们证明如果 $\mathcal{C}_A^{\text{loc}}$ 是刚性的，则在诸如 $\mathcal{C}$ 上的轻微非退化假设、$\mathcal{C}_A$ 的每个单对象都是局部的假设、以及从 $\mathcal{C}$ 到 $\mathcal{C}_A$ 的诱导与对偶可交换的假设等条件下，$\mathcal{C}$ 也是刚性的。这些条件是由自由场类型的 VOA 扩张 $V\subseteq A$ 所启发的，其中 $A$ 通常是不可分解的 $V$-模，因此我们的结果将使证明许多顶点代数幺半范畴的刚性变得更加可行。在后续工作中，我们的结果将用于证明 $\mathfrak{sl}_2$ 在任意容许阶上的单仿射 VOA 的权模范畴的刚性。