Out(F_N) 子群的共同放大

Farb 与 Handel 的一个定理断言：当 $N\ge 4$ 时，$\mathrm{Out}(F_N)$ 到其抽象共同放大群的自然嵌入是一个同构。我们给出了他们结果的一个新证明，使我们能将其推广到 $N=3$ 的情形。更一般地，我们给出了 $\mathrm{Out}(F_N)$ 中子群 $\Gamma$ 的一组充分条件，保证其抽象共同放大群 $\mathrm{Comm}(\Gamma)$ 同构于它在 $\mathrm{Out}(F_N)$ 中的相对共同放大群。特别地，我们证明了对所有 $N\ge 3$，Torelli 子群 $\mathrm{IA}_N$ 的抽象共同放大群，或更一般地，若 $N\ge 4$ 则 Andreadakis--Johnson 滤子的任意一项的抽象共同放大群，都等于 $\mathrm{Out}(F_N)$。类似地，若 $\Gamma$ 是 $\mathrm{Out}(F_N)$ 到秩为 $N\geq 3$ 的自由 Burnside 群的外自同构群的自然映射的核，则自然映射 $\mathrm{Out}(F_N)\to\mathrm{Comm}(\Gamma)$ 是一个同构。