多面体与 Lipschitz 域上第二类积分方程的强制性、本质范数与 Galerkin 方法

众所周知，在选取特定范数时，只要 $\Gamma$ 是有界 Lipschitz 域的边界，经典双层势算子 $D$ 作为自然迹空间 $H^{1/2}(\Gamma)$ 上的算子其本质范数 $<1/2$。这意味着，对于势理论中内部与外部 Dirichlet 和 Neumann 问题的标准第二类边界积分方程，Galerkin 方法在 $H^{1/2}(\Gamma)$ 中对任意在 $H^{1/2}(\Gamma)$ 中渐近稠密的有限维子空间序列 $(\mathcal{H}_N)_{N=1}^\infty$ 均收敛。长期未决的问题是：作为 2 维所有 Lipschitz $\Gamma$ 上 $L^2(\Gamma)$ 的算子，$D$ 的本质范数是否也 $<1/2$；或者，对 2 维与 3 维所有 Lipschitz $\Gamma$，或至少对 3 维较小的 Lipschitz 多面体类，是否成立较弱条件，即算子 $\pm \frac{1}{2}I+D$ 是强制性算子的紧扰动——这是 Galerkin 方法对 $L^2(\Gamma)$ 中每个渐近稠密子空间序列 $(\mathcal{H}_N)_{N=1}^\infty$ 收敛的充要条件。我们否定地解决了这些开放问题。我们给出 Lipschitz 常数等于一的 2 维与 3 维 Lipschitz 域例子，其中 $D$ 的本质范数 $\geq 1/2$，以及 Lipschitz 常数为二的例子，其中算子 $\pm \frac{1}{2}I +D$ 不是强制性加紧的。我们还对每個 $C>0$ 给出 Lipschitz 多面体的例子，其本质范数 $\geq C$，且对任意满足 $|\lambda|\leq C$ 的实数或复数 $\lambda$，$\lambda I+D$ 不是强制性算子的紧扰动。最后，我们否定地解决了一个配置法收敛理论中的相关开放问题。