关于局部伸缩不变 Lipschitz 域上双层算子的谱

我们说 $\Gamma$（有界 Lipschitz 域的边界）是局部伸缩不变的，如果在每个 $x\in \Gamma$ 处，$\Gamma$ 要么是局部 $C^1$ 的，要么（在某个以 $x$ 为中心的坐标系中）局部地与某个 Lipschitz 图 $\Gamma_x$ 重合，使得对某个 $\alpha_x\in (0,1)$ 有 $\Gamma_x=\alpha_x\Gamma_x$。在本文中，对于此类 $\Gamma$，我们研究势论的双层（或 Neumann-Poincar\'e）算子 $D_\Gamma$ 在 $L^2(\Gamma)$ 上的本质谱。我们通过局部化与 Floquet-Bloch 型论证表明，该本质谱是相关的连续算子族 $K_t$（对 $t\in [-\pi,\pi]$）的谱的并；此外，若 $\Gamma$ 除有限个点外为 $C^1$，则每个 $K_t$ 是紧的。对于附加地 $\Gamma$ 为分段解析的二维情形，我们构造 $D_\Gamma$ 本质谱的收敛近似序列；每个近似是源于对算子 $K_t$ 的 Nystr\"om 方法近似的有限多个有限矩阵的特征值的并。通过带显式常数的误差估计，我们还构造了判定任何特定的局部伸缩不变分段解析 $\Gamma$ 是否满足著名谱半径猜想（即对所有 Lipschitz $\Gamma$，$D_\Gamma$ 在 $L^2(\Gamma)$ 上的本质谱半径 $<1/2$）的泛函。我们用例子阐明该理论；对每个例子我们展示本质谱半径 $<1/2$，为猜想提供额外支持。我们还通过关于本质谱半径在局部共形 $C^{1,\beta}$ 微分同胚下不变性的新结果，表明谱半径猜想对所有 Lipschitz 曲线多面体成立。