系数箭图、$\mathbb{F}_1$-表示与箭图 Grassmannian 的欧拉特征

箭图表示将向量空间赋给每个顶点，将线性映射赋给每个箭头。当考虑“在 $\mathbb{F}_1$ 上”（一元域）的向量空间范畴 $\textrm{Vect}(\mathbb{F}_1)$ 时，便得到箭图的 $\mathbb{F}_1$-表示。本文研究箭图在一元域上的表示，并将其与系数箭图相联系。确切地说，我们证明范畴 $\textrm{Rep}(Q,\mathbb{F}_1)$ 等价于（适当定义的）Q 上的系数箭图范畴。这提供了一种概念性的方法，将一类箭图 Grassmannian 的欧拉特征视为箭图 Grassmannian 的“$\mathbb{F}_1$-有理点”的个数。我们将最初为弦模与带模开发的技术推广，以计算与 $\mathbb{F}_1$-表示相关的箭图 Grassmannian 的欧拉特征。这些技术适用于一大类 $\mathbb{F}_1$-表示，我们称之为具有有限良长度的 $\mathbb{F}_1$-表示：我们证明了 $\mathbb{F}_1$-表示具有有限良长度的充分条件，并对某些箭图族中的此类表示进行了分类。最后，我们探索与箭图的 $\mathbb{F}_1$-表示相关的 Hall 代数。我们回答了对于具有有界表示类型的箭图，定向的改变如何影响其幂零 $\mathbb{F}_1$-表示的 Hall 代数。我们还讨论了与具有有限良长度的表示相关的 Hall 代数，并对某些箭图族进行了计算。