作为 $M\times M$ 上函数的粗 Ricci 曲率

我们利用 Bakry 和 Emery 在对数 Sobolev 不等式工作中的框架，在光滑度量测度空间上定义一种粗 Ricci 曲率的概念，作为 Y. Ollivier 所提出概念的替代。该函数可用于通过公式 $$\mathrm{Ric}(\gamma^{\prime}\left( 0\right) ,\gamma^{\prime}\left( 0\right) )=\frac{1}{2}\frac{d^{2}}{ds^{2}}\mathrm{Ric}_{\Delta_g}(x,\gamma\left( s\right) )$$ 对任意曲线 $\gamma(s)$ 恢复光滑黎曼流形上的 Ricci 张量。