度量空间上 Markov 链的 Ricci 曲率
概率论
2007-07-30 v4 度量几何
摘要
我们将度量空间上 Markov 链的 Ricci 曲率定义为随机游动作用于装备 Wasserstein 传输距离的概率测度空间时的局部压缩系数。对黎曼流形上的布朗运动，这给出了切向量的 Ricci 曲率值。在此定义下正曲率空间的例子包括离散立方体和 Ornstein--Uhlenbeck 过程的离散版本。此外，该推广与黎曼流形上带漂移布朗运动的 Bakry--Émery Ricci 曲率一致。易于证明正 Ricci 曲率蕴含谱隙、类 Lévy--Gromov 的高斯集中定理以及一种修正的对数 Sobolev 不等式。这些界在若干有趣例子中是尖锐的。
引用
@article{arxiv.math/0701886,
title = {Ricci curvature of Markov chains on metric spaces},
author = {Yann Ollivier},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0701886},
year = {2007}
}