度量空间的标量曲率:在无坐标的量子引力中定义曲率

在因果动力学三角剖分(CDT)等量子引力的非微扰方法中,人们使用单纯流形而非黎曼流形来定义引力路径积分,时空的几何性质因而难以研究。特别地,在 CDT 中仅依赖两种数学工具:距离测度与体积测度。本文中,我们为赋予体积测度或随机游走的度量空间定义一种标量曲率概念,无需假设或使用张量微积分概念。此外,我们直接定义 Ricci 标量,而无需事先定义并计算 Riemann 或 Ricci 张量。为此,我们利用测地球表面积或标量扩散过程的返回概率等量,这些量可在此类度量空间中计算,正如在黎曼流形中那样,它们带有标量曲率贡献。当集合为黎曼流形时,我们的定义重现标量曲率的经典结果。我们提出七种在此类空间中计算标量曲率的方法,并比较它们在离散空间自然实现中的特性。所定义的广义标量曲率易于在图等离散空间上实现。我们给出了定义应用于二维球面与平面的随机三角剖分的结果。此外,我们展示了广义标量曲率在二维 CDT 量子几何上的结果,发现所有定义均指示引力路径积分的平坦基态。