用于多部哈密顿系统的耦合 Lie-Poisson 神经网络（CLPNets）

为了准确计算基于数据的哈密顿系统预测，特别是此类系统的长期演化，正确利用能够在时间上保持方程结构的方法至关重要。我们考虑一种特别具有挑战性的数据驱动方法的案例：由多个相互作用部件组成且不能简化为纯动量演化的系统。此类系统在科学计算中至关重要。例如，任何对连续弹性杆的离散化都可视为可以在空间中移动和旋转的相互作用元素，其中每个离散元素在旋转和平移的群 $SE(3)$ 上运动。我们发展了一种新颖的数据驱动计算和完整相空间学习的方法。我们遵循原始框架 SympNets（Jin 等人，2020）构建来自标准相空间映射的神经网络，并采用保持 Lie-Poisson 结构的变换（LPNets）（Eldred 等人，2024）。我们推导了一种内置于神经网络以处理耦合系统的映射系统。我们将此类网络称为耦合 Lie-Poisson 神经网络，或 CLPNets。我们考虑越来越复杂的 CLPNets 应用案例：两个关于共同轴的刚体旋转、两个刚体的自由旋转，以及两个相互连接且相互作用的 $SE(3)$ 组件的演化。我们的方法对每个系统的所有 Casimir 不变式实现机器精度的保持，无论训练数据的质量如何，还能高度准确地保持能量。我们的方法还在高维度问题上表现出良好的抗维数灾难能力，仅需几千个数据点即可应用于所有研究案例，有效维数范围从 3 到 18。此外，该方法在内存需求方面非常经济，仅需约 200 个参数即可处理最复杂的案例。