Lie-Poisson 神经网络（LPNets）：基于数据的含对称哈密顿系统计算

对哈密顿系统长期演化的准确基于数据的预测，需要一种在每个时间步都保持适当结构的网络。每个哈密顿系统包含两个基本要素：泊松括号与哈密顿量。具有对称性的哈密顿系统（其典型例子为 Lie-Poisson 系统）已被证明可描述广泛物理现象，从卫星运动到水下航行器、流体、地球物理应用、复杂流体以及等离子体物理。这些系统中的泊松括号源于对称性，而哈密顿量源于底层物理。我们将系统的对称性视为首要的，因此 Lie-Poisson 括号被精确知晓，而哈密顿量被视为源于物理，被认为未知或近似已知。采用此方法，我们开发了一种基于变换的网络，以机器精度精确保持 Lie-Poisson 系统的泊松括号与特殊函数（Casimirs）。我们提出此类系统的两种变体：其一，变换参数由稠密神经网络从数据计算得到（LPNets）；其二，以变换的复合作为构建模块（G-LPNets）。我们还展示了如何将这些方法推广到更大类的泊松括号。我们将所得方法应用于若干例子，如刚体（卫星）运动、水下航行器、磁场中的粒子等。本文所开发的方法对于构建准确的基于数据的物理系统长期动力学模拟方法具有重要意义。