平坦环面上磁场的经典等价与量子等价

设M为配备平移不变度量h与平移不变辛形式w的实2m维环面；我们将后者解释为M上的磁场。在扭变辛形式$w_{T^*M}+ \pi^*w$下，由h在$T^*M$上诱导的范数平方函数之半（即“动能”）的哈密顿流，描述了在磁场w影响下在M上运动的粒子轨迹。若[w]为整上同调类，则我们可以研究具有动能哈密顿量的辛流形$(T^*M,w_{T^*M}+\pi^*w)$的几何量子化。我们称两个此类环面$(M_1,h_1,w_1)$与$(M_2,h_2,w_2)$的量子化是量子等价的，如果它们的量子谱（即相关联的量子哈密顿算子的谱）重合；这些量子哈密顿算子正比于M上陈类为[w]的埃尔米特线丛幂次上由$h_j$诱导的丛拉普拉斯算子。在本文中，我们构造了相互非等谱的平坦环面$(M,h_t)$的连续族${(M,h_t)}_t$，每个环面均赋予平移不变辛结构w，使得相关联的经典哈密顿系统是成对等价的。若w表示整上同调类，则$(M,h_t,w)$也具有相同的量子谱。我们进一步证明，对于M上表示整上同调类的任意平移不变度量h与任意平移不变辛结构w，相关联的量子谱决定了$(M,h,w)$是否为凯勒结构，且M上给定体积的所有平移不变凯勒结构$(h,w)$具有相同的量子谱。最后，我们构造了具有相同量子谱但经典相空间非辛同胚的磁场对$(M,h,w_1)$与$(M,h,w_2)$。在其中一些例子中，这些对由凯勒流形组成。