经典与量子表示理论

这些笔记介绍了形变量子化的一种解析版本。核心在于研究物理可观测量代数及其不可约表示。经典力学处理实 Poisson 代数,而量子力学中可观测量具有实非结合 Jordan-Lie 代数结构。非结合性与 $\pl^2$ 成正比,因此当 $\pl\raw 0$ 时恢复为实 Poisson 代数。这一观察构成了'严格'形变量子化的基础,其中将给定的 Poisson 代数形变为 $C^*$-代数,且基本代数结构得以保持。我们的主要兴趣在于退化 Poisson 代数及其通过非单 Jordan-Lie 代数的量子化。经典力学传统的辛流形及其量子对应(不可约作用着的 Hilbert 空间与算子代数)从广义表示论中浮现。这一两步过程极大澄清了该主题。我们讨论了大量例子,其中与(可积)Lie 代数胚典范关联的 Poisson 代数被形变为相应 Lie 群胚的 Jordan-Lie 代数。该构造的一个特例涉及主纤维丛的规范群胚,描述了在外部引力与 Yang-Mills 场中运动的粒子的经典与量子力学。