色数不是竞赛图局部的

Scott 与 Seymour 猜想存在函数 $f \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$,使得对于同一顶点集上的每个图 $G$ 与竞赛图 $T$,$\chi(G) \geqslant f(k)$ 蕴含对某个顶点 $v$ 有 $\chi(G[N_T^+(v)]) \geqslant k$。本文中我们否定了该猜想,即便将 $v$ 替换为大小为 $\mathcal{O}(\log{\lvert V(G)\rvert})$ 的顶点集。作为推论,我们对 Harutyunyan、Le、Thomassé 和 Wu 关于将图 $G$ 替换为另一竞赛图对应命题的问题给出否定回答,并否定了 Nguyen、Scott 和 Seymour 的一个相关猜想。我们还表明,将色数替换为退化度时呈现出颇为不同的行为。