拓扑阿贝尔群上渐近与催化随机序的刻画

我们研究预序拓扑阿贝尔群上概率测度之间的通常随机序，聚焦于该序的渐近与催化版本。在渐近版本中，若由 $\mu$ 生成的 i.i.d. 随机游走在较晚时刻一阶主导由 $\nu$ 生成的随机游走，则测度 $\mu$ 主导测度 $\nu$。在催化版本中，若存在第三测度 $\tau$ 使得卷积 $\mu \ast \tau$ 一阶主导 $\nu \ast \tau$，则 $\mu$ 主导 $\nu$。在 $G$ 上的预序由适当大的正锥诱导且两测度均为紧支撑 Radon 测度的前提下，我们的主要结果给出了渐近与催化主导成立的一个充分条件，该条件由一组与累积量生成函数密切相关的不等式族表述。尽管此充分条件要求这些不等式严格成立，但这些不等式的非严格版本易见为必要条件。在此意义上，我们的结果给出了在一般情形下必要且充分的条件。该结果在 $G = \mathbb{R}$ 时已知，但对 $n > 1$ 的 $\mathbb{R}^n$ 已是新的。它是实代数中最近证明的一个定理——即预序半环的 \emph{Vergleichsstellensatz}——的直接应用。最后我们利用该结果推导出一个公式，用于描述随机游走概率相对于另一随机游走概率的衰减速率，此处针对具有紧支撑 Radon 步长的预序拓扑向量空间上的游走。取其中一游走为确定性游走，可复现无限维下 Cram\'er 大偏差定理的一个版本。