随机漫步的可预测舞蹈： finitely-generated abelian 群上的局部极限定理

在随机漫步理论中，通常假设给定的随机漫步是不可约的或非周期的。虽然这些主流假设使得随机漫步的分析尤其可处理，且有助于凸显其扩散本质，但它们消除了一种自然现象：舞蹈。这一舞蹈可以例如在所谓的整数上的简单随机漫步中看到的，后者中，随机行走者在偶数和奇数整数之间来回移动。它也可以在只接受棋盘上骑士可用步数的整数格子上的随机漫步中看到。在本工作中，我们发展出一种通用的傅里叶分析方法，用于描述finitely-generated abelian 群上的随机漫步，不对非周期性或不可约性作出任何假设。我们的主要结果是一条局部中心极限定理，描述了驱动 measure 具有有限二阶矩的任意随机漫步的转移概率的大时间行为。将著名的高斯逼近一般化，我们的渐近形式为两个函数的乘积，一个描述扩散，另一个描述舞蹈。有趣的是，我们的“舞蹈函数”是通过对该群的庞图涤对偶子群的一个 Haar 积分得到的。我们的结果重新捕获了许多长期以来的结果，特别是F. Spitzer经典著作《随机漫步原理》中著名的局部极限定理。