冯·诺依曼代数上李导数的刻画

设 ${\mathcal M}$ 为无 $I_1$ 型中心直和项的冯·诺依曼代数，$\xi\in{\mathbb C}$ 为标量。证明了 $\mathcal M$ 上的加法映射 $L$ 满足：只要 $A,B\in{\mathcal M}$ 且 $AB=0$，就有 $L(AB-\xi BA)=L(A)B-\xi BL(A)+L(B)A-\xi AL(B)$，当且仅当下列陈述之一成立：(1) $\xi=1$，$L=\varphi+f$，其中 $\varphi$ 是 $\mathcal M$ 上的加法导子，$f$ 是从 $\mathcal M$ 到其中心的加法映射且在满足 $AB=0$ 的 $[A,B]$ 上为零；(2) $\xi=0$，$L(I)\in{\mathcal Z}({\mathcal M})$ 且存在加法导子 $\varphi$ 使得对所有 $A$ 有 $L(A)=\varphi(A)+L(I)A$；(3) $\xi=-1$，$L$ 是 Jordan 导子；(4) $\xi$ 为有理数且 $\xi\not=0, \pm1$，$L$ 是加法导子；(5) $\xi$ 为无理数，存在满足 $\varphi(\xi I)=\xi L(I)$ 的加法导子 $\varphi$，使得对所有 $A \in{\mathcal M}$ 有 $L(A)=\varphi(A) + L(I)A$。$\mathcal M$ 上的线性映射 $L$ 满足：只要 $A,B\in{\mathcal M}$ 且 $AB=0$，就有 $L(AB-\xi BA)=L(A)B-\xi BL(A)+L(B)A-\xi AL(B)$，当且仅当存在 $T\in\mathcal M$ 和线性映射 $f:{\mathcal M}\rightarrow{\mathcal Z}({\mathcal M})$（在满足 $AB=0$ 的 $[A,B]$ 上为零），使得 (i) $\xi=1$ 时，对所有 $A\in\mathcal M$ 有 $L(A)=AT-TA+f(A)$；(ii) $\xi=0$ 时，$L(I)\in{\mathcal Z}({\mathcal M})$ 且对所有 $A\in{\mathcal M}$ 有 $L(A)=AT-(T-L(I))A$；(iii) $\xi\not=0,1$ 时，对所有 $A \in{\mathcal M}$ 有 $L(A)=AT-TA$。