通过时间变换刻画平均场神经网络中的爆破现象

具有脉冲式相互作用的理想化积分放电神经元网络在平均场极限下服从McKean-Vlasov扩散方程。这些方程易于发生爆破：对于足够强的相互作用耦合，平均场相互作用率在有限时间内发散，且有有限比例的神经元同时放电，从而标志一个宏观同步事件。解析地刻画这些爆破奇点是理解平均场神经元模型中放电同步出现与持续的关键。然而，在经典所考虑动力学中，平均场相互作用的首达性质阻碍了此种解析。在此，我们引入经典积分放电动力学的一种延迟泊松变体，其爆破在平均场极限下解析定义良好。尽管本质上是非线性的，我们表明该延迟泊松动力学可通过确定性时间变换转化为非相互作用的线性动力学。我们将此时间变换指定为非线性延迟积分方程的解，通过对首达问题的更新分析得到。该表述也揭示，同时放电神经元的比例可通过关于时间变换后线性动力学的自洽概率守恒原理确定。我们在另一篇论文中利用所提框架解析地证明了存在具有持续同步的奇异平均场动力学，只要相互作用耦合足够大。