钟形函数类的刻画

一个非负函数 $f$ 被称为“钟形”的，如果 $f$ 在 $\pm \infty$ 处趋于零，且对于每个 $n = 0, 1, 2, \ldots$，$f$ 的 $n$ 阶导数改变其符号 $n$ 次。我们给出了钟形函数类的完整刻画：我们证明了每一个钟形函数都是一个“Pólya 频率函数”与一个*绝对单调-然后-完全单调*函数的卷积。同时给出了一个基于傅里叶变换全纯延拓的等价条件。作为推论，钟形函数的多种性质随之得出。特别地，我们证明了钟形概率分布是无穷可分的，且钟形函数的 $n$ 阶导数的零点随着 $n \to \infty$ 以线性速率增长。