整函数的渐近函数

若 $f$ 为整函数，$a$ 为复数，若存在一条从 $0$ 到无穷远的路径 $\gamma$ 使得当 $z$ 沿 $\gamma$ 趋于无穷时 $f(z) - a$ 趋于 $0$，则称 $a$ 为 $f$ 的渐近值。Denjoy--Carleman--Ahlfors 定理断言，若 $f$ 有 $n$ 个不同的渐近值，则 $f$ 的增长率至少为 $n/2$ 级、平均型。一个长期存在的问题询问该结论是否对具有 $n$ 个不同渐近（整）函数的整函数成立，其中每个渐近函数的增长至多为 $1/2$ 级、极小型。本文得到了关于函数 $f$ 及相关渐近路径的条件，足以保证 $f$ 满足 Denjoy--Carleman--Ahlfors 定理的结论。此外，对每一正整数 $n$，给出了一个 $n$ 级整函数的例子，其具有 $n$ 个指定的不同渐近函数，每个的级小于 $1/2$。