Takiff 李代数的 O 范畴

我们研究 Takiff 李代数 $\mathfrak{g} \otimes \mathbb{C}[\epsilon]/(\epsilon^2)$ 的 $\mathcal{O}$ 范畴，其中 $\mathfrak{g}$ 是 $\mathbb{C}$ 上约化代数群的李代数。我们将该范畴分解为若干子范畴的直和，并使用 BGG 范畴 $\mathcal{O}$ 的抛物诱导函子与扭曲函子的类比来证明这些子范畴之间的等价性。然后我们利用这些等价性，根据 $\mathfrak{g}$ 的约化子代数的 BGG 范畴 $\mathcal{O}$ 中的组合重数来计算 Verma 模中单模的组合重数。我们得出结论：组合重数由 Kazhdan-Lusztig 多项式给出。