直线上向量场李代数的范畴 $\mathcal{O}$

设 $\mathfrak{W}$ 为直线上的向量场李代数。通过计算范畴 $\mathcal{O}$ 中所有单模之间的扩张,我们给出了 $\mathcal{O}$ 的块分解,并利用 Ext-箭图表明 $\mathcal{O}$ 的每个块的表示类型是野型的。$\mathcal{O}$ 的每个块都有无穷多个单对象。这一结果与复半单李代数的 $\mathcal{O}$ 截然不同。为寻找 $\mathcal{O}$ 与某结合代数上的模范畴之间的联系,我们定义了 $U(\mathfrak{b})$ 的一个子代数 $H_1$。我们给出了一个从 $\mathcal{O}$ 到 $H_1$ 上有限维模范畴 $\Omega$ 的精确函子。我们还从 Weyl 模以及 $\mathfrak{W}$ 的 Borel 子代数 $\mathfrak{b}$ 上的模构造了新的单 $\mathfrak{W}$-模。