范畴$\mathcal{O}$的一些同调性质，II

我们完全一般地证明了Lusztig的$\mathbf{a}$-函数描述了BGG范畴$\mathcal{O}$的正则块中既约倾斜模和既约内射模的投射维数，证实了第一篇论文中的一个猜想。在此过程中，我们证明了在导出范畴中，简单模在投射函子下的像可以用倾斜模的线性复形表示。这些复形反过来可以解释为简单模在范畴$\mathcal{O}$的Koszul对偶中的投射函子下的像。最后，我们描述了$\mathcal{O}$的某些子范畴中的支配投射模以及投射-内射模，并展示了如何利用范畴化将Weyl群的正则表示分解为胞腔模的直和，从而推广了对称群（$A$型）的已知结果。