根可约 Lie 代数的 Dynkin Borel 子代数的范畴 O

我博士研究的目的在于为 Lie 代数 $\mathfrak{g}$ 定义并研究经典 Bernstein-Gelfand-Gelfand (BGG) 范畴 $\mathcal{O}$ 的一个类似物，其中 $\mathfrak{g}$ 是有限型无限维 Lie 代数 $\mathfrak{gl}_\infty(\mathbb{K})$、$\mathfrak{sl}_\infty(\mathbb{K})$、$\mathfrak{so}_\infty(\mathbb{K})$ 和 $\mathfrak{sp}_\infty(\mathbb{K})$ 之一。这里，$\mathbb{K}$ 是特征为 $0$ 的代数闭域。我们将这些范畴称为“扩展范畴 $\mathcal{O}$”，并使用记号 $\bar{\mathcal{O}}$。虽然范畴 $\bar{\mathcal{O}}$ 对 $\mathfrak{g}$ 的所有分裂 Borel 子代数均有定义，但本研究聚焦于 $\mathfrak{g}$ 的我们称之为 Dynkin Borel 子代数的非常特殊的 Borel 子代数所对应的范畴 $\bar{\mathcal{O}}$。关于块分解与 Kazhdan-Lusztig 重数的一些结果从通常的范畴 $\mathcal{O}$ 延续至我们的范畴 $\bar{\mathcal{O}}$。我们也存在一些差异，我们将对此进行详细探讨，例如某些内射包的缺失。与此相关，我们研究了截断范畴 $\bar{\mathcal{O}}$，并能够在范畴 $\bar{\mathcal{O}}$ 中建立 BGG 互反性的类似物。