范畴光滑紧化与广义 Hodge-to-de Rham 退化

我们反驳了 Kontsevich 的两个（未发表的）猜想，它们分别表述了光滑 DG 范畴与真 DG 范畴上的范畴 Hodge-to-de Rham 退化的广义版本（但并非光滑且真的情况，后者退化由 Kaledin \cite{Ka} 证明）。特别地，我们证明存在一个特征零域上的极小 $10$ 维 $A_{\infty}$-代数，其对第二个变量的 $\mu_3$ 的超迹非零。作为副产品，我们得到一个同伦有限呈现的 DG 范畴（特征零域上）的例子，它不具有光滑范畴紧化，从而对 To"en 的一个问题给出否定回答。这可解释为非交换情形下奇点解消的缺失。我们还得到一个真 DG 范畴的例子，它在 Kuznetsov 与 Lunts \cite{KL} 的术语下不承认范畴奇点解消（即它不能嵌入到光滑且真的 DG 范畴中）。