高阶 CAT(0) 空间 I

若每条测地线都位于一个 $n$-平面中，则 CAT(0) 空间的秩至少为 $n$。Ballmann 的高阶刚性猜想预测：具有几何群作用的秩至少为 $2$ 的 CAT(0) 空间是刚性的——等距于黎曼对称空间、欧氏建筑，或作为度量积分裂。本文是受 Ballmann 猜想启发的一系列文章中的第一篇。此处我们证明：包含周期 $n$-平面且 Tits 边界维数为 $(n-1)$ 的秩至少为 $n\geq 2$ 的 CAT(0) 空间是刚性的。这不需要几何群作用。该结果本质上依赖于对不界定平面半空间的平面——即所谓 Morse 平面——的研究。我们证明周期 Morse $n$-平面 $F$ 的 Tits 边界 $\partial_T F$ 包含一个正则点——一个其 Tits 邻域完全含于 $\partial_T F$ 中的点。更精确地，我们证明 $\partial_T F$ 中奇异点的集合可被有限多个具有正余维数的_round 球面覆盖。