有限方案的 Castelnuovo-Mumford 正则性

设 $\Gamma \subset \mathbb{P}^n$ 为 degree $d$ 的非退化有限子方案。则 $\Gamma$ 的 Castelnuovo-Mumford 正则性 ${\rm reg} (\Gamma)$ 最多为 $\left\lceil \frac{d-n-1}{t(\Gamma)} \right\rceil +2$，其中 $t(\Gamma)$ 为最小整数，使得 $\Gamma$ 容纳 $(t+2)$-secant $t$-plane。在本文中，我们证明 ${\rm reg} (\Gamma)$ 在唯一一个 degree $t(\Gamma)$ 的有理 normal curve $C$ 使得 ${\rm reg} (\Gamma \cap C) = {\rm reg} (\Gamma)$ 时，${\rm reg} (\Gamma)$ 接近该上界。