非交换几何中的Carnot-Caratheodory度量与规范涨落

规范场在水平距离方面具有自然的度量解释。后者，也称为Carnot-Caratheodory或次黎曼距离，定义为点之间最短水平路径的长度，即其切向量处处相对于规范联络水平的路径。在非交换几何中，所有度量信息都编码在狄拉克算子D中。在经典情形，即交换情形，Connes距离公式允许从D提取黎曼自旋流形上的测地距离。在具有规范场A的规范理论情形下，相关的U(n)-向量丛的几何由协变狄拉克算子D+A描述。这个算子编码的距离是什么？预期由协变狄拉克算子定义的非交换几何距离d与由A定义的Carnot-Caratheodory距离dh密切相关。在本文中，我们精确化了这种联系，表明d和dh的相等性强烈依赖于联络的和乐。相当有趣的是，我们展示了一个基于2环面的基本例子，其中非交换距离具有非常简单的表达式，同时避免了黎曼度量（距离函数在割迹处导数的不连续性）和次黎曼度量（纤维结构的记忆）的主要缺点。