带有截断的谱几何：拓扑与度量方面

受量子场论中正则化的启发，我们研究了引入截断的空间的拓扑和度量性质。我们在非交换几何的框架下工作，重点关注与谱三元组$(A, H, D)$相关的 Connes 距离。通过在 Dirac 算子$D$和/或代数$A$上作用投影$P$，实现了高动量（短距离）截断。这种作用诱导了两个新的距离。我们确定了使它们与原始距离等价的条件。我们还研究了截断态集合的 Gromov-Hausdorff 极限，首先针对 Rieffel 意义上的紧量子度量空间，然后针对任意谱三元组。为此，我们为非交换代数引入了“一阶有限矩态”的概念。随后我们聚焦于交换情形，表明截断在点之间诱导了一个最小长度，如果$P$具有有限秩，则该长度为无穷大。当$P$是$D$的谱投影时，我们推导出了用彼此有限距离的非纯态对点进行近似的方法。在圆上，这种近似由 Fejér 概率分布给出。最后，我们将结果应用于 Moyal 平面和模糊球面，它们分别是平面和球面的 Berezin 量子化结果。