拟 Banach 空间的 Carl 不等式

我们证明，对于任意两个拟 Banach 空间 $X$ 和 $Y$ 以及任意 $\alpha>0$，存在常数 $\gamma_\alpha>0$ 使得 $$\sup_{1\le k\le n}k^{\alpha}e_k(T)\le \gamma_\alpha \sup_{1\le k\le n} k^\alpha c_k(T)$$ 对所有线性有界算子 $T:X\to Y$ 成立。这里 $e_k(T)$ 是 $T$ 的第 $k$ 个熵数，$c_k(T)$ 是 $T$ 的第 $k$ 个 Gelfand 数。对于 Banach 空间 $X$ 和 $Y$，该不等式被广泛使用且作为 Carl 不等式而为人熟知。对于一般的拟 Banach 空间，这是一个新结果。