$\gamma$-Banach 空间中的熵数

设 $X$ 为拟 Banach 空间，$Y$ 为 $\gamma$-Banach 空间 $(0<\gamma \leq 1)$，$T$ 为从 $X$ 到 $Y$ 的有界线性算子。本文证明 $T$ 的第一外熵数介于 $2^{1-1/\gamma}\|T\|$ 与 $\|T\|$ 之间；更确切地，$2^{1-1/\gamma}\|T\| \leq e_1(T) \leq \|T\|$，且常数 $2^{1-1/\gamma}$ 是精确的。此外，我们证明存在一个 Banach 空间 $X_0$、一个 $\gamma$-Banach 空间 $Y_0$ 和一个有界线性算子 $T_0:X_0 \rightarrow Y_0$，使得对所有正整数 $k$，$0 \neq e_k(T_0) = 2^{1-1/\gamma}\|T_0\|$。最后，本文还给出了有限维对称 $\gamma$-Banach 空间之间嵌入的熵数的双侧估计。