向量值 Littlewood-Paley-Stein 理论中的最佳常数

设 $L$ 为 $L^2(\mathbb{R}^d)$ 上的 $\alpha$ 型扇形算子（$0 \leq \alpha < \pi/2$），其 $\{e^{-tL}\}_{t>0}$ 的核满足特定的尺寸与正则性条件。定义 $$S_{q,L}(f)(x) = \left(\int_0^{\infty}\int_{|y-x| < t} \|tL{e^{-tL}} (f)(y) \|_X^q \,\frac{{\rm d} y{\rm d} t}{t^{d+1}} \right)^{\frac{1}{q}},$$ $$G_{q,{L}}(f)=\left( \int_0^{\infty} \left\|t{L}{e^{-t{L}}} (f)(y) \right\|_X^q \,\frac{{\rm d} t}{t}\right)^{\frac{1}{q}}.$$ 我们证明，对于 $\underline{\mathrm{任意}}$ Banach 空间 $X$，$1 \leq p < \infty$ 和 $1 < q < \infty$ 以及 $f\in C_c(\mathbb R^d)\otimes X$，成立 \begin{align*} p^{-\frac{1}{q}}\| S_{q,{\sqrt{\Delta}}}(f) \|_p \lesssim_{d, \gamma, \beta} \| S_{q,L}(f) \|_p \lesssim_{d, \gamma, \beta} p^{\frac{1}{q}}\| S_{q,{\sqrt{\Delta}}}(f) \|_p, \end{align*} \begin{align*} p^{-\frac{1}{q}}\| S_{q,L}(f) \|_p \lesssim_{d, \gamma, \beta} \| G_{q,L}(f) \|_p \lesssim_{d, \gamma, \beta} p^{\frac{1}{q}}\| S_{q,L}(f) \|_p, \end{align*} 其中 $\Delta$ 为标准 Laplace 算子；此外，当 $p\rightarrow1$ 时，上述出现的所有阶均为 {\it 最佳的}。结合 [29, 33] 中的现有结果，这使我们能够部分解决 Xu [48] 在近期一项杰出工作中关于最佳 Lusin 型常数和鞅型表征的 Problem 1.8、Problem A.1 和 Conjecture A.4。若干困难源于 $X$ 的任意性，这排除了向量值 Calderón-Zygmund 理论的使用。为克服这些障碍，我们引入了与扇形算子相关的新的向量值 Hardy 和 BMO 空间；除了在该框架下发展的 Mei 对偶技巧和 Wilson 内蕴平方函数外，关键的新工具是向量值帐篷空间理论及其与这些“旧”技巧的意想不到的融合。