局部单遍方法能求解任意稳态 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程吗？

局部单遍方法（如快速行进法）的使用已在某些 Hamilton-Jacobi 方程的求解中变得流行。这类方程的原型是程函方程，对此类方程应用这些方法可以节省 CPU 时间并可能减少内存分配。于是，一些自然的问题随之而来：局部单遍方法能否求解任意 Hamilton-Jacobi 方程？如果不能，其界限应设在哪里？本文试图回答这些问题。为给出完整图景，我们概述了文献中可用的一些快速方法，并简要分析了它们的主要特征。我们还引入了一些数值工具，并提供了若干数值试验，旨在展示这些方法的局限性。我们表明，为一般 Hamilton-Jacobi 方程构造局部单遍方法即便不是不可能，也是极其困难的。尽管如此，某些特殊类别的问题实际上可以被求解，这使得局部单遍方法从实践角度来看非常有用。