关于分离希尔伯特空间上核协方差算子高斯测度积分的计算

本文的主要目的是构造收敛级数，用于近似计算分离希尔伯特空间上具有核协方差算子（非局部传播子）的高斯测度上的某些积分。此类级数在具有相互作用拉格朗日函数 $\sinh^{2(p+1)}\varphi$ 的模型中出现，其中 $p \in \mathbb{N}$ 且 $\varphi$ 为标量场，尽管该问题可以用相当广泛的拉格朗日函数的通用形式求解：一个偶数、严格凸、连续、非负函数，其在 $\varphi=0$ 时仅有一个零值，并且在 $|\varphi|\rightarrow +\infty$ 时的增长速度快于 $\varphi^{2}$。我们严格定义了在经典场的零值处的散射矩阵 $\mathcal{S}$-矩阵的 $\mathcal{S}$-矩阵，以相应积分的形式表示，找到积分器（高斯测度不展开）在两个正交基函数上的迭代展开，证明求和与积分交换的有效性，从而将在经典场的零值处的 $\mathcal{S}$-矩阵展开为互动作用功的幂级数。 resulting series 的各个 individual terms 具有标准配分函数 (CPF) 的形式，统计物理的方法可适用于它们。特别是，我们将其表示为 Bell 多项式。值得注意的是，这些迭代级数不能化简为扰动理论 (PT) 级数，因为在本文所提出的模型中，后者的收敛性随 PT 阶数 $n \in \mathbb{N}$ 呈指数级 $e^{n^{2}}$ 增长。就其而言，我们提供了详细的数学背景，包括贝恩-莱维的单调收敛定理 (MCT) 和亨利·勒贝克的支配收敛定理 (DCT)，没有这些定理，所呈现的计算将显著更为复杂。