(0,1) 矩阵最大永久参数的 Brualdi-Goldwasser-Michael 问题

设 $\mathscr{U}(n,\tau)$ 为所有秩为 $n$ 且恰有 $\tau$ 个 0 的 (0,1) 矩阵的集合。Brualdi 等人考察了该集合中所有矩阵的最大永久参数值，并提出了一个开放问题：在 $\mathscr{U}(n,\tau)$ 中 characterize 最大永久参数。本文聚焦于该问题。我们在 $n^{2}-3n\leq\tau\leq n^{2}-2n-1$ 情况下，完全 characterize 该集合中所有矩阵的最大永久参数。此外，我们还证明了当 $\sigma-kn\equiv0 (mod~k+1)$ 且 $(k+1)n-\sigma\equiv0(mod~k)$ 时，所有矩阵的最大永久参数，其中 $\sigma=n^{2}-\tau$，$kn\leq\sigma\leq (k+1)n$，且 $k$ 为整数。